Shimizuさん
ご質問ありがとうございます。
普段なら何も問題ない状況ですね。雇用に直接付与されている滞在許可を変えるだけですが、今回はタイミング的に厳しいです。
具体的どんあビザになっているかは確認していませんので、あくまで私の推測です。おそらくビザに「Tätigkeit als XX gestattet nur bei der Firma XX」のような条件が記載されているでしょう。転職されますと必ず外国人局及ぶ美連邦労働省 (Bundesagentur für Arbeit)の事前許可が必要です。なぜかと言いますと、現在のビザを取得された時にように（ブルーカードの場合はなおさらです）その雇用関係の条件（年収など）を確認しなければならず、さらになぜその仕事をするためにわざわざ外国の方でなければなりませんなど、含めて「Vorabprüfung」が必要です。
外国人局との連絡はどんな状況でも不可欠ですので、直接電話してみてください。連絡取るのが簡単ではないのは承知していますが、電話の場合は私の経験上割とすぐに出ます。大変なのはそのあとのコミュニケーションになります。
とりあえず新しい雇用先にビザ切り替えの手続きの間（その会社の書類も必要になります）待ってくれるかどうかを確認してみてください。
頑張って下さい。
ロマン
